Глава о броуновском движении (гл. IX) – хорошая иллюстрация этому. Понятие дифференцируемости, если брать его абстрактно, весьма трудноуловимо. Зачем нам вообще волноваться о том, что можно дифференцировать, а что нельзя? Но в контексте кинематики «недифференцируемый» означает просто «не имеющий скорости», что передает истинную странность поведения.
Кстати, в главе III Джеймс рассуждает о том, что, если бы друзья знали все производные его счастья в данный конкретный момент, они могли бы экстраполировать траекторию счастья всей его жизни. Это предположение предугадывает существование рядов Тейлора, где в одной точке производной скрывается вся история функции.
Линейная аппроксимация: «Когда Миссисипи текла на миллион миль» (гл. V)
Несколько авторов, в том числе и Джордан Элленберг, убедили меня в том, что «линеаризация» – ключевое слово математического анализа. Я также хочу признаться, что впервые наткнулся на абзацы из Твена в великолепной книге Элленберга «Как не ошибаться».
Оптимизация: «Универсальный язык» (гл. IV); «Принцесса с городской окраины» (гл. XI); «Земля, опустевшая из-за скрепок» (гл. XII); «Это твой пес-профессор» (гл. XIV)
Благодаря вашему проницательному взгляду вы могли заметить, что я посвятил оптимизации четыре главы и жалкие несколько абзацев (в гл. XIV) – относительной скорости. Здесь я прошу прощения у всех ревнителей относительной скорости: я просто не нашел хороших историй о ней. А за особое внимание к оптимизации, которая является побудительной силой математического анализа, я извиняться нисколько не буду.
Теорема Ролля и теорема о среднем значении: «Последняя усмешка кривой» (гл. XIII); «Пахлава исполинских размеров» (гл. XXVI)
Хотя в главе XIII упоминается теорема Ролля, она по большей части представляет собой еще один случай оптимизации. Глава XXVI знакомит с теоремой о среднем значении одновременно для производных и интегралов; к концу в ней также обсуждается (на самом деле высмеивается) теорема о промежуточном значении. Уверен, что эта неразбериха будет раздражать добросердечных учителей, старающихся придерживаться традиционной последовательности, но такова моя точка зрения: обычный порядок изложения – это только один из возможных подходов к данному материалу, причем подход, который отдает предпочтение нарушающему исторический ход событий понятию математической строгости.
Честно говоря, не уверен, как я поступлю, когда в следующий раз буду давать этот материал. Но я планирую подчеркнуть, что теорема о среднем значении, теорема о промежуточном значении и тому подобное заняли центральное место только после работы Фурье, поднявшей значительные вопросы о сходимости и, таким образом, создавшей интеллектуальную необходимость, которую могла бы удовлетворить математическая строгость дельты и эпсилона.
Дифференциальные уравнения: «Биография массового увлечения, у которой нет автора» (гл. VII)
Глава затрагивает несколько тем, которые заслуживают отдельного внимания: (1) экспоненциальный рост; (2) точки перегиба кривой; (3) дифференциальные уравнения. Увы, в учебном расписании эти темы часто разделяются месяцами или даже целыми семестрами, что делает эту главу довольно неудобной. Ах да, еще она показывает, что выпущенная на свободу математика не признает национальных границ.
Определение интеграла: «В литературных кругах» (гл. XVI); «Война, мир и интегралы» (гл. XVII); «Если страдание должно прийти» (гл. XXIII)
По сравнению с производной я нахожу интегралы более коварными и неуловимыми. Фраза «область под кривой» мне кажется более ограниченной и менее честной, чем «мгновенное изменение скорости».
Таким образом, после главы XVI проходит подготовительная работа, главы XVII и XXIII исследуют некий неопределенный, метафорический интеграл. Это не слишком поможет вам справиться с домашним заданием, но, возможно, послужит абстрактным краеугольным камнем. Я считаю, что геометрические свойства интеграла, то есть то, что ∫ab f(x) dx + ∫bc g(x) dx = ∫ac f(x) dx, в таких условиях проявляются достаточно легко.
Сумма Римана: «Линия городского горизонта Римана» (гл. XVIII)
Как учитель я подозреваю, что лучший подход к суммам Римана – очень тщательно рассчитать одну или две из них, а потом изъять их из обращения. Механизм среднеквадратичного отклонения сложен для понимания, особенно если алгебра у вас слегка хромает. Неудобство подхода заставляет искать способы обойти острые углы, что в итоге выливается в славную форму фундаментальной теоремы.
Тем не менее как писатель я решился потворствовать своей любви к анализу (возможно, вызванной тем, как мало я о нем знаю). Функция Дирихле – моя любимая: это самый простой из известных мне примеров для того, чтобы раскрыть недостатки суммы Римана и выявить необходимость интеграла Лебега. (Нельзя не признать, что она основывается на «интуитивном» знании того, что рациональные числа составляют множество нулевой меры – один из самых известных и неожиданных результатов в элементарном анализе.)
Фундаментальная теорема: «Великая работа синтеза» (гл. XIX)
Когда я впервые читал курс математического анализа, мы целую неделю вычисляли определенные интегралы геометрическими методами, затем посвятили неделю неопределенным интегралам (то есть антипроизводным). В обоих случаях использовалось обозначение интеграла, но, насколько знали студенты, эти два отдельных способа совершенно не связаны. После всего этого скучного шоу я вскричал: «Абракадабра! В действительности они имеют отношение друг к другу!»
Я превратил фундаментальную теорему математического анализа в самый худший сюрприз ко дню рождения.
Теперь я не откладываю изучение фундаментальной теоремы ни на секунду дольше, чем мне это нужно. Это как в фильме «Когда Гарри встретил Салли»: «Когда вы понимаете, что хотите с кем-то провести остаток своих дней, вы желаете, чтобы эта часть вашей жизни началась как можно быстрее».
Численное интегрирование: «1994-й, год, когда родился математический анализ» (гл. XXII); «Сцены из невозможности» (гл. XXVIII)
Я не инженер, не исследователь диабета и не занимаюсь какими-либо другими подобными задачами, но понимаю, что численное интегрирование очень полезно в самых разных науках и, возможно, заслуживает больше внимания, чем ему уделяет стандартный курс математического анализа. Это особенно верно сейчас, когда алгебраическое программное обеспечение так хорошо вычисляет антипроизводные, тем самым освобождая нас от необходимости осваивать 1001 метод интегрирования.
Методы интегрирования: «Что происходит под знаком интеграла, остается под знаком интеграла» (гл. XX)
В этой главе я пытаюсь передать вкус и текстуру процесса интегрирования, не вычисляя каких-либо интегралов. Это глупая и, возможно, недостижимая задача, но она соответствует заявленной цели книги, поэтому мы здесь. Не то чтобы я не ценил вычисления; кстати, главная цель того, что мы называем «математический анализ», – это сделать вычисления более легкими, беглыми и как можно меньше задействовать при этом мозг. Я просто недостаточно хороший рассказчик, чтобы создать занимательную историю без тригонометрических замещений.
